リリースしてから３周年が近いアイドルマスターミリオンライブ！シアターデイズ。
カードのスキルレベルを上げる効率的なやり方を考えてみた。
ミリシタはR以上のカードにはスキルがあり、スキルレベルが上がるとスキルの発動率が高くなる。スキルレベルはレッスンチケットとマニーを消費して高めることができる。
スキルレベルが１つ上がる確率はこれらのコストに比例していて、たとえばSRカードのスキルレベルはレベル１のときレッスンチケットR×１枚につき15%ずつ高くなる。レッスンチケットRが６枚で90%。７枚では105%で100を上回るため、７枚以上は100%で頭打ちになり、最大20枚まで使える。
確率100%になるように資源を投入すれば間違いなくレベルアップができるが、コストの割高感がぬぐえない。かといって、100%未満の確率でレッスンすると、確率なりにハズレが出る。スキルレベルを確実に１つ上げるためには、100%になるよう資源を投入すべきか、あるいはある確率を狙って投資した方がトータルで安上がりなのか。気になるので計算してみた。
100%レベルアップするのに必要な投資をkとすると、レベルアップに必要なコストCは、確率p=1のため、以下となる。
C=k
投資をkより小さい値とすると、確率pは投資額に比例して小さくなる。つまりハズレが生じる。当たった時は少ないコストでいいが、外れたときは再度投資が必要になる。
ある確率pを狙って投資するとき、当たればコストは確率に応じたkpで済むが、外れた場合にはkを投資して確実にレベルアップするようにする、という戦略をとると、トータルのコストは以下で表される。
C=kp+k(1-p)
展開するとkpが正負で打ち消しあうので、C=kという、100%を狙う投資と同じになる。
外れた時に「次は100%になるように投資する」という戦略をとる場合、最初から100%を狙うのとトータルコストは同じということになる。
では必ず確率100%になる投資をすべきかというと、これは違う。
レッスンチケットRが１枚でレベルアップの確率が15%、というとき、７枚では105%なので5%分の無駄が生じる。６枚（90%）でレッスンして外れた10%のときに７枚投資する方が若干コストが低い。たとえば10回同じことをするとき、期待値として、100%狙いでは70枚必要だが、90%狙いでは6×10+7×1=67枚で３枚節約できる。
ここで、確率一定戦略の場合を試算してみる。
６枚×10回レッスンするところは同じ。平均で１回外れるから、この回はさらに６枚追加して90%のレッスンをもう一回やる。これで90%は成功するから、成功すればコストは60+6=66枚。「１回外れたら100%を狙う」戦略より１枚少ない。
しかし、10%は外れるので、この場合はさらに６枚、合計72枚以上必要となる。つまり60枚に対し0.9の確率で６枚加算、0.1の確率で12枚以上加算となる。18枚必要なケースを無視すると、60+0.9×6+0.1×12=66.6枚。「１回外れたら100%を狙う」戦略との期待値の差はわずか0.4枚。
レッスン１回で考えると、「必ず100%になるようにレッスン」戦略の期待値は７枚、「１回外れたら100%を狙う」戦略の期待値は6.7枚、90%戦略の期待値は6.66枚となる。
90%戦略の期待値を再度計算してみる。１回６枚のコストで成功する確率が90%。この分のコストの期待値は5.4枚となる。これに失敗した10%の確率に関する期待値を加算する。
失敗した場合にまた6枚追加して90%のレッスンを行い、90%の確率で成功する。つまり全体の9%が２回のレッスンで成功となり、このコストは12枚。9%に対し12枚だから期待値としては1.08枚。
0.9%の確率で３回18枚の投資が必要なので期待値0.162枚。
ここまでで合計は5.4+1.08+0.162=6.642枚。「１回外れたら100%を狙う」戦略の6.7枚との差はわずか0.058枚。
そして、確率の合計値が１に十分近くなるまでケースを追加して加算すると、6.666666…枚が期待値の収束値になる。
確率を変えてみても、レッスンを成功させるために必要な回数が増えるだけで、期待値の合計は6.6666…で変わらない。
レッスン成功の100%を１枚あたりの確率15%で割ると20/3=6.66666…なので、少ない確率で多数やる場合も、十分高い確率でやる場合もこの値に収束しているということ。
だから、「レッスンチケットR１枚あたり15%」のように100%で割り切れない場合は、100%の未満のどの確率を選んでも必要なコストは変わらず、100%を狙う場合には端数の分だけ無駄にコストを払うことになる。
そして、100%で割り切れる確率は、100%ぴったりを狙うのと、少ない確率で外れたら繰り返しやるのと、かかるコストは変わらない。
ミリシタのレッスンはたまに「大成功」が出て、開始時の確率によらずスキルレベルが上がる場合があるため、これを考慮すると、少ない投資で数多くやる方がちょっとだけ得かもしれない。（経験的に、大成功とスキルのレベルアップは関係ないみたいです）
１未満の確率のレッスンを行うと、何回やってもレベルアップしないケースが理論上はあり得る。しかし、そういうケースは確率がごく低いため、全体の期待値は有限の値に収束する。
